Признаки делимости
Как за секунду понять, делится ли число на 2, 3, 4, 5, 9, 10, 11 и 25 — и зачем это при сокращении дробей.
- Сокращение дробей, 5–6 класс
- НОД и НОК
- ЕГЭ профиль №19 — числа и их свойства
- Олимпиадные задачи
Признаки делимости позволяют не делить, а «посмотреть» на число. Это главный инструмент для сокращения дробей и для задач на целые числа.
Признаки
| На | Признак | Пример |
|---|---|---|
| 2 | последняя цифра чётная | 3 578 |
| 3 | сумма цифр делится на 3 | 4 152: $4+1+5+2 = 12$ |
| 4 | число из двух последних цифр делится на 4 | 7 316: 16 |
| 5 | оканчивается на 0 или 5 | 935 |
| 9 | сумма цифр делится на 9 | 6 381: $6+3+8+1 = 18$ |
| 10 | оканчивается на 0 | 4 270 |
| 25 | две последние цифры: 00, 25, 50, 75 | 1 975 |
| 11 | знакочередующаяся сумма цифр делится на 11 | 918 082: $2-8+0-8+1-9 = -22$ |
Составные делители
Чтобы проверить делимость на 6, проверьте на 2 и на 3. На 12 — на 3 и на 4, на 15 — на 3 и на 5. Множители должны быть взаимно простыми: проверка «на 2 и на 4» не даёт делимости на 8.
Пример.
Сократите дробь $\dfrac{252}{378}$.
Решение. Суммы цифр 9 и 18 — обе делятся на 9: $\frac{28}{42}$. Оба числа чётные и делятся на 7: $\frac{28}{42} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$.
Ответ: $\frac{2}{3}$.
Проверь себя
- Делится ли 2 736 на 12?
Показать ответ
Да: сумма цифр 18 (делится на 3), 36 делится на 4.
- Какие цифры можно поставить вместо $x$ в записи числа $\overline{5x4}$, чтобы оно делилось на 9?
Показать ответ
$5 + x + 4 = 9 + x$ должно делиться на 9: подходят 0 и 9 — числа 504 и 594.
- Делится ли 7 293 на 11?
Показать ответ
$3 - 9 + 2 - 7 = -11$ — делится: $7293 = 11 \cdot 663$.