Первообразная и интеграл
Таблица первообразных, правила, формула Ньютона — Лейбница и площадь криволинейной трапеции.
Содержание
Первообразная — действие, обратное производной: по скорости восстанавливаем путь, по производной — функцию. Интеграл позволяет считать площади фигур, ограниченных кривыми. В ЕГЭ это встречается в задании №8, иногда по графику.
Определение
Функция $F(x)$ — первообразная для $f(x)$ на промежутке, если $F'(x) = f(x)$ для всех $x$ из промежутка. Все первообразные имеют вид $F(x) + C$.
Чтобы проверить, что первообразная найдена верно, достаточно её продифференцировать.
Таблица первообразных
Первообразные (без $+C$)
| $f(x)$ | $F(x)$ | $f(x)$ | $F(x)$ |
|---|---|---|---|
| $k$ | $kx$ | $\sin x$ | $-\cos x$ |
| $x^n$, $n \ne -1$ | $\dfrac{x^{n+1}}{n+1}$ | $\cos x$ | $\sin x$ |
| $\dfrac{1}{x}$ | $\ln|x|$ | $e^x$ | $e^x$ |
| $\dfrac{1}{\sqrt{x}}$ | $2\sqrt{x}$ | $\dfrac{1}{\cos^2 x}$ | $\operatorname{tg} x$ |
| $f(kx + b)$ | $\dfrac{1}{k} F(kx + b)$ | $a^x$ | $\dfrac{a^x}{\ln a}$ |
Пример 1.
Найдите общий вид первообразных для $f(x) = 6x^2 - 4x + 3$.
Решение. $F(x) = 2x^3 - 2x^2 + 3x + C$. Проверка: $F'(x) = 6x^2 - 4x + 3$.
Ответ: $2x^3 - 2x^2 + 3x + C$.
Пример 2.
Найдите первообразную $f(x) = 2x + 1$, график которой проходит через точку $(1;\ 5)$.
Решение. $F(x) = x^2 + x + C$. $F(1) = 2 + C = 5$, $C = 3$.
Ответ: $F(x) = x^2 + x + 3$.
Пример 3.
Найдите первообразную для $f(x) = \cos(2x - 1)$.
Решение. По правилу для линейного аргумента: $F(x) = \frac{1}{2}\sin(2x - 1) + C$.
Ответ: $\frac{1}{2}\sin(2x - 1) + C$.
Интеграл и площадь
Формула Ньютона — Лейбница: $$\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a).$$
Если $f(x) \ge 0$ на $[a;\ b]$, интеграл равен площади криволинейной трапеции под графиком.
Пример 4.
Вычислите $\displaystyle\int_1^3 (2x + 1)\,dx$.
Решение. $F(x) = x^2 + x$. $F(3) - F(1) = 12 - 2 = 10$.
Ответ: 10.
Пример 5.
Найдите площадь фигуры, ограниченной параболой $y = 4 - x^2$ и осью $Ox$.
Решение. Пересечения с осью: $x = \pm 2$, между ними функция положительна. $S = \int_{-2}^{2} (4 - x^2)\,dx = \left[4x - \frac{x^3}{3}\right]_{-2}^{2} = \left(8 - \frac{8}{3}\right) - \left(-8 + \frac{8}{3}\right) = 16 - \frac{16}{3} = \frac{32}{3}$.
Ответ: $\frac{32}{3} = 10\frac{2}{3}$.
Пример 6 (по графику первообразной).
$F(x)$ — первообразная функции $f(x)$, известно $F(2) = 7$ и $F(6) = 1$. Найдите $\int_2^6 f(x)\,dx$.
Решение. $F(6) - F(2) = 1 - 7 = -6$.
Ответ: −6.
Площадь между кривыми
Если на $[a;\ b]$ выполняется $g(x) \le f(x)$, площадь между графиками $S = \int_a^b (f(x) - g(x))\,dx$. Границы $a$ и $b$ — абсциссы точек пересечения графиков.
Ещё разборы
Пример 7 (площадь между кривыми).
Найдите площадь фигуры, ограниченной графиками $y = x^2$ и $y = 2x$.
Решение. Точки пересечения: $x^2 = 2x$, $x = 0$ и $x = 2$. На $[0;\ 2]$ прямая выше параболы. $S = \int_0^2 (2x - x^2)\,dx = \left[x^2 - \frac{x^3}{3}\right]_0^2 = 4 - \frac{8}{3} = \frac{4}{3}$.
Ответ: $\frac{4}{3}$.
Пример 8 (путь по скорости).
Скорость точки $v(t) = 3t^2 + 2t$ м/с. Какой путь она пройдёт за промежуток от $t = 1$ до $t = 3$ с?
Решение. Скорость на этом промежутке положительна, путь равен интегралу: $\int_1^3 (3t^2 + 2t)\,dt = \left[t^3 + t^2\right]_1^3 = (27 + 9) - (1 + 1) = 34$ м.
Ответ: 34 м.
Пример 9 (ЕГЭ №8 по графику).
Функция $f$ на отрезке $[1;\ 5]$ положительна, а фигура под её графиком состоит из прямоугольника $4 \times 2$ и поставленного на него прямоугольного треугольника с катетами 4 и 3. $F(x)$ — первообразная $f$. Найдите $F(5) - F(1)$.
Решение. $F(5) - F(1) = \int_1^5 f(x)\,dx$ — площадь под графиком: $8 + 6 = 14$.
Ответ: 14.
Коротко о главном
- $F' = f$; все первообразные отличаются на константу.
- Для $f(kx + b)$ первообразная $\frac{1}{k}F(kx + b)$.
- $\int_a^b f\,dx = F(b) - F(a)$; при $f \ge 0$ это площадь.
- Площадь между графиками — интеграл разности «верхний минус нижний».
Частые вопросы
Зачем «$+ C$»? Производная константы равна нулю, поэтому $x^2$, $x^2 + 5$ и $x^2 - 100$ имеют одну и ту же производную $2x$. Первообразных бесконечно много, и все они отличаются сдвигом графика вверх-вниз. Конкретную выбирают по дополнительному условию: «график проходит через точку».
Почему интеграл может быть отрицательным, а площадь — нет? Там, где график ниже оси, интеграл «вычитает» площадь. Чтобы найти площадь фигуры, лежащей ниже оси, берут интеграл со знаком минус: например, $\int_0^{\pi} \sin x\,dx = 2$, а $\int_{\pi}^{2\pi} \sin x\,dx = -2$, хотя обе фигуры имеют площадь 2.
- Первообразная $\sin x$ — это $-\cos x$, а не $\cos x$.
- Для $x^n$ забывать делить на $n + 1$.
- Для $f(kx + b)$ забывать множитель $\frac{1}{k}$.
- Считать площадь интегралом от функции, которая ниже оси: интеграл получится отрицательным.
Задачи для самопроверки
- Найдите первообразную $f(x) = 3x^2 + 2\cos x$.
Ответ
$x^3 + 2\sin x + C$.
- Найдите первообразную $f(x) = e^{3x}$.
Ответ
$\frac{1}{3}e^{3x} + C$.
- Вычислите $\int_0^2 x^3\,dx$.
Ответ
$\frac{16}{4} = 4$.
- Вычислите $\int_0^{\pi} \sin x\,dx$.
Ответ
$-\cos\pi + \cos 0 = 2$.
- Найдите площадь под графиком $y = x^2$ на отрезке $[0;\ 3]$.
Ответ
9.
- $F(x) = x^3 - 6x$ — первообразная $f(x)$. Найдите $\int_1^2 f(x)\,dx$.
Ответ
$F(2) - F(1) = -4 - (-5) = 1$.
Задачи по теме
Навыки по теме
- МГУ им. М.В. Ломоносова
- Творческая лаборатория «Дважды Два»
- 20+ лет стажа преподавания