Десятичные дроби

Десятичная дробь — это обыкновенная дробь со знаменателем 10, 100, 1000 и так далее, записанная без черты. С ними удобно считать «столбиком», но есть два места, где ошибаются почти все: положение запятой при умножении и при делении.

Запись и разряды

Нули в конце дробной части можно дописывать и отбрасывать: $1{,}5 = 1{,}50 = 1{,}500$. Это помогает при сравнении и вычитании.

Сравнение

Сначала сравнивают целые части. Если они равны, уравнивают число знаков после запятой нулями и сравнивают дробные части как обычные числа: $0{,}7$ и $0{,}65$ → $0{,}70$ и $0{,}65$, значит $0{,}7 \gt 0{,}65$.

Сложение и вычитание

Записываем числа столбиком запятая под запятой, недостающие разряды заполняем нулями и считаем как с натуральными числами.

Умножение

1. Перемножаем числа, не обращая внимания на запятые.
2. Считаем, сколько всего знаков после запятой у обоих множителей.
3. Отделяем в результате столько же знаков справа.

Умножение на 10, 100, 1000 — перенос запятой вправо на 1, 2, 3 знака: $3{,}07 \cdot 100 = 307$. Умножение на 0,1, 0,01 — перенос влево: $45 \cdot 0{,}01 = 0{,}45$.

Деление

Перевод между видами дробей

Обыкновенная дробь переводится в конечную десятичную, только если в разложении знаменателя (после сокращения) есть лишь двойки и пятёрки. Иначе получается периодическая дробь: $\frac{1}{3} = 0{,}333\ldots = 0{,}(3)$. В таких случаях считайте в обыкновенных дробях.

Округление

Чтобы округлить до нужного разряда, смотрим на следующую цифру: если она 0–4, отбрасываем хвост; если 5–9, увеличиваем разряд на единицу. $3{,}1463 \approx 3{,}15$ (до сотых), $\approx 3{,}1$ (до десятых).

Ещё разборы

Периодические дроби

Если знаменатель несократимой дроби содержит простые множители, кроме 2 и 5, получается бесконечная периодическая дробь: $\frac{2}{3} = 0{,}666\ldots = 0{,}(6)$, $\frac{5}{11} = 0{,}4545\ldots = 0{,}(45)$. Обратный перевод: $0{,}(7) = \frac{7}{9}$, $0{,}(27) = \frac{27}{99} = \frac{3}{11}$ — период делится на столько девяток, сколько в нём цифр.

Коротко о главном

• Сложение и вычитание — запятая под запятой.
• Умножение — считаем знаки после запятой у множителей.
• Деление — делаем делитель натуральным, перенося запятую в обоих числах.
• Если в выражении есть «неудобные» дроби вроде $\frac{1}{3}$, считайте в обыкновенных дробях.

Частые вопросы

Почему $0{,}1 + 0{,}2$ на калькуляторе иногда даёт $0{,}30000000000000004$? Компьютер хранит числа в двоичной системе, а $0{,}1$ в ней — бесконечная периодическая дробь, как $\frac{1}{3}$ в десятичной. На уроке и на экзамене считайте точно: $0{,}1 + 0{,}2 = 0{,}3$.

Сколько знаков оставлять в ответе ОГЭ? Столько, сколько получилось точно. Если ответ — бесконечная дробь, задача, скорее всего, решена с ошибкой: ответы кратких заданий записываются целым числом или конечной десятичной дробью.

Задачи для самопроверки

1. Сравните $3{,}09$ и $3{,}1$.
   Ответ

   $3{,}09 \lt 3{,}10$.

2. Вычислите $7 - 2{,}38$.
   Ответ

   4,62.

3. Вычислите $0{,}25 \cdot 0{,}8$.
   Ответ

   0,2.

4. Вычислите $2{,}7 : 0{,}09$.
   Ответ

   $270 : 9 = 30$.

5. Вычислите $\dfrac{2{,}8 \cdot 1{,}5}{0{,}7}$.
   Ответ

   $4{,}2 : 0{,}7 = 6$.

6. Переведите $\frac{7}{8}$ в десятичную дробь.
   Ответ

   0,875.

7. Округлите $12{,}4962$ до сотых.
   Ответ

   12,50.