Математика 11 класс · №3 Объёмы тел
Задачи с ответами и разборами · 50 задач · решено 0
Основание прямой призмы — прямоугольный треугольник с катетами $12$ и $35$. Боковое ребро равно $12$. Найдите объём призмы.
$V_{\text{цил}} = \pi r^2 h$, $V_{\text{кон}} = \frac{1}{3}\pi r^2 h$, $V_{\text{шара}} = \frac{4}{3}\pi R^3$, $V_{\text{пир}} = \frac{1}{3} S h$.
$S_{\text{осн}} = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 35 = 210$, $V = S_{\text{осн}} \cdot h = 210 \cdot 12 = 2520$.
Ответ: 2520.
Разбор: Александр Владимирович
Радиус шара равен $6$. Найдите объём шара, делённый на $\pi$.
$V_{\text{цил}} = \pi r^2 h$, $V_{\text{кон}} = \frac{1}{3}\pi r^2 h$, $V_{\text{шара}} = \frac{4}{3}\pi R^3$, $V_{\text{пир}} = \frac{1}{3} S h$.
$V = \frac{4}{3}\pi R^3 = \frac{4}{3}\pi \cdot 216 = 288\pi$.
Ответ: 288.
Разбор: Александр Владимирович
Каждое ребро куба увеличили в $4$ раза. Во сколько раз увеличился его объём?
$V_{\text{цил}} = \pi r^2 h$, $V_{\text{кон}} = \frac{1}{3}\pi r^2 h$, $V_{\text{шара}} = \frac{4}{3}\pi R^3$, $V_{\text{пир}} = \frac{1}{3} S h$.
Объём куба пропорционален кубу ребра: $4^3 = 64$.
Ответ: 64.
Разбор: Александр Владимирович
Радиус основания конуса равен $6$, высота равна $18$. Найдите объём конуса, делённый на $\pi$.
$V_{\text{цил}} = \pi r^2 h$, $V_{\text{кон}} = \frac{1}{3}\pi r^2 h$, $V_{\text{шара}} = \frac{4}{3}\pi R^3$, $V_{\text{пир}} = \frac{1}{3} S h$.
$V = \frac{1}{3}\pi r^2 h = \frac{1}{3} \pi \cdot 36 \cdot 18 = 216\pi$.
Ответ: 216.
Разбор: Александр Владимирович
Радиус основания цилиндра равен $1$, высота равна $7$. Найдите объём цилиндра, делённый на $\pi$.
$V_{\text{цил}} = \pi r^2 h$, $V_{\text{кон}} = \frac{1}{3}\pi r^2 h$, $V_{\text{шара}} = \frac{4}{3}\pi R^3$, $V_{\text{пир}} = \frac{1}{3} S h$.
$V = \pi r^2 h = \pi \cdot 1 \cdot 7 = 7\pi$.
Ответ: 7.
Разбор: Александр Владимирович
Основание прямой призмы — прямоугольный треугольник с катетами $9$ и $40$. Боковое ребро равно $4$. Найдите объём призмы.
$V_{\text{цил}} = \pi r^2 h$, $V_{\text{кон}} = \frac{1}{3}\pi r^2 h$, $V_{\text{шара}} = \frac{4}{3}\pi R^3$, $V_{\text{пир}} = \frac{1}{3} S h$.
$S_{\text{осн}} = \frac{1}{2} \cdot 9 \cdot 40 = 180$, $V = S_{\text{осн}} \cdot h = 180 \cdot 4 = 720$.
Ответ: 720.
Разбор: Александр Владимирович
Каждое ребро куба увеличили в $5$ раз. Во сколько раз увеличился его объём?
$V_{\text{цил}} = \pi r^2 h$, $V_{\text{кон}} = \frac{1}{3}\pi r^2 h$, $V_{\text{шара}} = \frac{4}{3}\pi R^3$, $V_{\text{пир}} = \frac{1}{3} S h$.
Объём куба пропорционален кубу ребра: $5^3 = 125$.
Ответ: 125.
Разбор: Александр Владимирович
Каждое ребро куба увеличили в $3$ раза. Во сколько раз увеличился его объём?
$V_{\text{цил}} = \pi r^2 h$, $V_{\text{кон}} = \frac{1}{3}\pi r^2 h$, $V_{\text{шара}} = \frac{4}{3}\pi R^3$, $V_{\text{пир}} = \frac{1}{3} S h$.
Объём куба пропорционален кубу ребра: $3^3 = 27$.
Ответ: 27.
Разбор: Александр Владимирович
Основание прямой призмы — прямоугольный треугольник с катетами $7$ и $24$. Боковое ребро равно $11$. Найдите объём призмы.
$V_{\text{цил}} = \pi r^2 h$, $V_{\text{кон}} = \frac{1}{3}\pi r^2 h$, $V_{\text{шара}} = \frac{4}{3}\pi R^3$, $V_{\text{пир}} = \frac{1}{3} S h$.
$S_{\text{осн}} = \frac{1}{2} \cdot 7 \cdot 24 = 84$, $V = S_{\text{осн}} \cdot h = 84 \cdot 11 = 924$.
Ответ: 924.
Разбор: Александр Владимирович
Радиус основания цилиндра равен $9$, высота равна $6$. Найдите объём цилиндра, делённый на $\pi$.
$V_{\text{цил}} = \pi r^2 h$, $V_{\text{кон}} = \frac{1}{3}\pi r^2 h$, $V_{\text{шара}} = \frac{4}{3}\pi R^3$, $V_{\text{пир}} = \frac{1}{3} S h$.
$V = \pi r^2 h = \pi \cdot 81 \cdot 6 = 486\pi$.
Ответ: 486.
Разбор: Александр Владимирович
Радиус шара равен $9$. Найдите объём шара, делённый на $\pi$.
$V_{\text{цил}} = \pi r^2 h$, $V_{\text{кон}} = \frac{1}{3}\pi r^2 h$, $V_{\text{шара}} = \frac{4}{3}\pi R^3$, $V_{\text{пир}} = \frac{1}{3} S h$.
$V = \frac{4}{3}\pi R^3 = \frac{4}{3}\pi \cdot 729 = 972\pi$.
Ответ: 972.
Разбор: Александр Владимирович
Радиус основания конуса равен $8$, высота равна $9$. Найдите объём конуса, делённый на $\pi$.
$V_{\text{цил}} = \pi r^2 h$, $V_{\text{кон}} = \frac{1}{3}\pi r^2 h$, $V_{\text{шара}} = \frac{4}{3}\pi R^3$, $V_{\text{пир}} = \frac{1}{3} S h$.
$V = \frac{1}{3}\pi r^2 h = \frac{1}{3} \pi \cdot 64 \cdot 9 = 192\pi$.
Ответ: 192.
Разбор: Александр Владимирович
В правильной четырёхугольной пирамиде сторона основания равна $12$, высота равна $18$. Найдите объём пирамиды.
$V_{\text{цил}} = \pi r^2 h$, $V_{\text{кон}} = \frac{1}{3}\pi r^2 h$, $V_{\text{шара}} = \frac{4}{3}\pi R^3$, $V_{\text{пир}} = \frac{1}{3} S h$.
$V = \frac{1}{3} S_{\text{осн}} h = \frac{1}{3} \cdot 144 \cdot 18 = 864$.
Ответ: 864.
Разбор: Александр Владимирович
Радиус основания цилиндра равен $8$, высота равна $6$. Найдите объём цилиндра, делённый на $\pi$.
$V_{\text{цил}} = \pi r^2 h$, $V_{\text{кон}} = \frac{1}{3}\pi r^2 h$, $V_{\text{шара}} = \frac{4}{3}\pi R^3$, $V_{\text{пир}} = \frac{1}{3} S h$.
$V = \pi r^2 h = \pi \cdot 64 \cdot 6 = 384\pi$.
Ответ: 384.
Разбор: Александр Владимирович
Радиус основания цилиндра равен $6$, высота равна $10$. Найдите объём цилиндра, делённый на $\pi$.
$V_{\text{цил}} = \pi r^2 h$, $V_{\text{кон}} = \frac{1}{3}\pi r^2 h$, $V_{\text{шара}} = \frac{4}{3}\pi R^3$, $V_{\text{пир}} = \frac{1}{3} S h$.
$V = \pi r^2 h = \pi \cdot 36 \cdot 10 = 360\pi$.
Ответ: 360.
Разбор: Александр Владимирович
Радиус основания конуса равен $3$, высота равна $15$. Найдите объём конуса, делённый на $\pi$.
$V_{\text{цил}} = \pi r^2 h$, $V_{\text{кон}} = \frac{1}{3}\pi r^2 h$, $V_{\text{шара}} = \frac{4}{3}\pi R^3$, $V_{\text{пир}} = \frac{1}{3} S h$.
$V = \frac{1}{3}\pi r^2 h = \frac{1}{3} \pi \cdot 9 \cdot 15 = 45\pi$.
Ответ: 45.
Разбор: Александр Владимирович
В правильной четырёхугольной пирамиде сторона основания равна $9$, высота равна $9$. Найдите объём пирамиды.
$V_{\text{цил}} = \pi r^2 h$, $V_{\text{кон}} = \frac{1}{3}\pi r^2 h$, $V_{\text{шара}} = \frac{4}{3}\pi R^3$, $V_{\text{пир}} = \frac{1}{3} S h$.
$V = \frac{1}{3} S_{\text{осн}} h = \frac{1}{3} \cdot 81 \cdot 9 = 243$.
Ответ: 243.
Разбор: Александр Владимирович
Основание прямой призмы — прямоугольный треугольник с катетами $3$ и $4$. Боковое ребро равно $5$. Найдите объём призмы.
$V_{\text{цил}} = \pi r^2 h$, $V_{\text{кон}} = \frac{1}{3}\pi r^2 h$, $V_{\text{шара}} = \frac{4}{3}\pi R^3$, $V_{\text{пир}} = \frac{1}{3} S h$.
$S_{\text{осн}} = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 4 = 6$, $V = S_{\text{осн}} \cdot h = 6 \cdot 5 = 30$.
Ответ: 30.
Разбор: Александр Владимирович
Каждое ребро куба увеличили в $2$ раза. Во сколько раз увеличился его объём?
$V_{\text{цил}} = \pi r^2 h$, $V_{\text{кон}} = \frac{1}{3}\pi r^2 h$, $V_{\text{шара}} = \frac{4}{3}\pi R^3$, $V_{\text{пир}} = \frac{1}{3} S h$.
Объём куба пропорционален кубу ребра: $2^3 = 8$.
Ответ: 8.
Разбор: Александр Владимирович
Радиус шара равен $12$. Найдите объём шара, делённый на $\pi$.
$V_{\text{цил}} = \pi r^2 h$, $V_{\text{кон}} = \frac{1}{3}\pi r^2 h$, $V_{\text{шара}} = \frac{4}{3}\pi R^3$, $V_{\text{пир}} = \frac{1}{3} S h$.
$V = \frac{4}{3}\pi R^3 = \frac{4}{3}\pi \cdot 1728 = 2304\pi$.
Ответ: 2304.
Разбор: Александр Владимирович
В правильной четырёхугольной пирамиде сторона основания равна $10$, высота равна $15$. Найдите объём пирамиды.
$V_{\text{цил}} = \pi r^2 h$, $V_{\text{кон}} = \frac{1}{3}\pi r^2 h$, $V_{\text{шара}} = \frac{4}{3}\pi R^3$, $V_{\text{пир}} = \frac{1}{3} S h$.
$V = \frac{1}{3} S_{\text{осн}} h = \frac{1}{3} \cdot 100 \cdot 15 = 500$.
Ответ: 500.
Разбор: Александр Владимирович
Основание прямой призмы — прямоугольный треугольник с катетами $5$ и $12$. Боковое ребро равно $2$. Найдите объём призмы.
$V_{\text{цил}} = \pi r^2 h$, $V_{\text{кон}} = \frac{1}{3}\pi r^2 h$, $V_{\text{шара}} = \frac{4}{3}\pi R^3$, $V_{\text{пир}} = \frac{1}{3} S h$.
$S_{\text{осн}} = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 12 = 30$, $V = S_{\text{осн}} \cdot h = 30 \cdot 2 = 60$.
Ответ: 60.
Разбор: Александр Владимирович
Радиус шара равен $3$. Найдите объём шара, делённый на $\pi$.
$V_{\text{цил}} = \pi r^2 h$, $V_{\text{кон}} = \frac{1}{3}\pi r^2 h$, $V_{\text{шара}} = \frac{4}{3}\pi R^3$, $V_{\text{пир}} = \frac{1}{3} S h$.
$V = \frac{4}{3}\pi R^3 = \frac{4}{3}\pi \cdot 27 = 36\pi$.
Ответ: 36.
Разбор: Александр Владимирович
В правильной четырёхугольной пирамиде сторона основания равна $4$, высота равна $9$. Найдите объём пирамиды.
$V_{\text{цил}} = \pi r^2 h$, $V_{\text{кон}} = \frac{1}{3}\pi r^2 h$, $V_{\text{шара}} = \frac{4}{3}\pi R^3$, $V_{\text{пир}} = \frac{1}{3} S h$.
$V = \frac{1}{3} S_{\text{осн}} h = \frac{1}{3} \cdot 16 \cdot 9 = 48$.
Ответ: 48.
Разбор: Александр Владимирович
Радиус основания конуса равен $5$, высота равна $3$. Найдите объём конуса, делённый на $\pi$.
$V_{\text{цил}} = \pi r^2 h$, $V_{\text{кон}} = \frac{1}{3}\pi r^2 h$, $V_{\text{шара}} = \frac{4}{3}\pi R^3$, $V_{\text{пир}} = \frac{1}{3} S h$.
$V = \frac{1}{3}\pi r^2 h = \frac{1}{3} \pi \cdot 25 \cdot 3 = 25\pi$.
Ответ: 25.
Разбор: Александр Владимирович
Радиус основания цилиндра равен $6$, высота — $3$. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, делённую на $\pi$.
$S_{\text{сферы}} = 4\pi R^2$, $S_{\text{бок.цил}} = 2\pi r h$.
$S_{\text{бок}} = 2\pi r h = 2\pi \cdot 6 \cdot 3 = 36\pi$.
Ответ: 36.
Разбор: Александр Владимирович
Ребро куба равно $15$. Найдите площадь полной поверхности куба.
$S_{\text{сферы}} = 4\pi R^2$, $S_{\text{бок.цил}} = 2\pi r h$.
$S = 6a^2 = 6 \cdot 225 = 1350$.
Ответ: 1350.
Разбор: Александр Владимирович
Ребро куба равно $6$. Найдите площадь полной поверхности куба.
$S_{\text{сферы}} = 4\pi R^2$, $S_{\text{бок.цил}} = 2\pi r h$.
$S = 6a^2 = 6 \cdot 36 = 216$.
Ответ: 216.
Разбор: Александр Владимирович
Радиус сферы равен $6$. Найдите площадь сферы, делённую на $\pi$.
$S_{\text{сферы}} = 4\pi R^2$, $S_{\text{бок.цил}} = 2\pi r h$.
$S = 4\pi R^2 = 4\pi \cdot 36 = 144\pi$.
Ответ: 144.
Разбор: Александр Владимирович
Радиус основания цилиндра равен $1$, высота — $7$. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, делённую на $\pi$.
$S_{\text{сферы}} = 4\pi R^2$, $S_{\text{бок.цил}} = 2\pi r h$.
$S_{\text{бок}} = 2\pi r h = 2\pi \cdot 1 \cdot 7 = 14\pi$.
Ответ: 14.
Разбор: Александр Владимирович
Радиус основания цилиндра равен $9$, высота — $12$. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, делённую на $\pi$.
$S_{\text{сферы}} = 4\pi R^2$, $S_{\text{бок.цил}} = 2\pi r h$.
$S_{\text{бок}} = 2\pi r h = 2\pi \cdot 9 \cdot 12 = 216\pi$.
Ответ: 216.
Разбор: Александр Владимирович
Радиус сферы равен $8$. Найдите площадь сферы, делённую на $\pi$.
$S_{\text{сферы}} = 4\pi R^2$, $S_{\text{бок.цил}} = 2\pi r h$.
$S = 4\pi R^2 = 4\pi \cdot 64 = 256\pi$.
Ответ: 256.
Разбор: Александр Владимирович
Радиус сферы равен $1$. Найдите площадь сферы, делённую на $\pi$.
$S_{\text{сферы}} = 4\pi R^2$, $S_{\text{бок.цил}} = 2\pi r h$.
$S = 4\pi R^2 = 4\pi \cdot 1 = 4\pi$.
Ответ: 4.
Разбор: Александр Владимирович
Радиус основания цилиндра равен $1$, высота — $6$. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, делённую на $\pi$.
$S_{\text{сферы}} = 4\pi R^2$, $S_{\text{бок.цил}} = 2\pi r h$.
$S_{\text{бок}} = 2\pi r h = 2\pi \cdot 1 \cdot 6 = 12\pi$.
Ответ: 12.
Разбор: Александр Владимирович
Ребро куба равно $13$. Найдите площадь полной поверхности куба.
$S_{\text{сферы}} = 4\pi R^2$, $S_{\text{бок.цил}} = 2\pi r h$.
$S = 6a^2 = 6 \cdot 169 = 1014$.
Ответ: 1014.
Разбор: Александр Владимирович
Ребро куба равно $14$. Найдите площадь полной поверхности куба.
$S_{\text{сферы}} = 4\pi R^2$, $S_{\text{бок.цил}} = 2\pi r h$.
$S = 6a^2 = 6 \cdot 196 = 1176$.
Ответ: 1176.
Разбор: Александр Владимирович
Радиус основания цилиндра равен $10$, высота — $9$. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, делённую на $\pi$.
$S_{\text{сферы}} = 4\pi R^2$, $S_{\text{бок.цил}} = 2\pi r h$.
$S_{\text{бок}} = 2\pi r h = 2\pi \cdot 10 \cdot 9 = 180\pi$.
Ответ: 180.
Разбор: Александр Владимирович
Радиус основания цилиндра равен $1$, высота — $11$. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, делённую на $\pi$.
$S_{\text{сферы}} = 4\pi R^2$, $S_{\text{бок.цил}} = 2\pi r h$.
$S_{\text{бок}} = 2\pi r h = 2\pi \cdot 1 \cdot 11 = 22\pi$.
Ответ: 22.
Разбор: Александр Владимирович
Радиус основания цилиндра равен $5$, высота — $6$. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, делённую на $\pi$.
$S_{\text{сферы}} = 4\pi R^2$, $S_{\text{бок.цил}} = 2\pi r h$.
$S_{\text{бок}} = 2\pi r h = 2\pi \cdot 5 \cdot 6 = 60\pi$.
Ответ: 60.
Разбор: Александр Владимирович
Ребро куба равно $3$. Найдите площадь полной поверхности куба.
$S_{\text{сферы}} = 4\pi R^2$, $S_{\text{бок.цил}} = 2\pi r h$.
$S = 6a^2 = 6 \cdot 9 = 54$.
Ответ: 54.
Разбор: Александр Владимирович