Быстрый счёт дискриминанта
Чётный коэффициент, сокращение уравнения и проверка «квадрат ли это» — три приёма против арифметических ошибок.
- Квадратные уравнения, 8 класс
- ОГЭ №9, №20, №21
- ЕГЭ профиль №6, №13, №15
В формуле $D = b^2 - 4ac$ ошибаются не в теории, а в счёте. Три приёма делают числа меньше, а ошибки — заметнее.
1. Сократите уравнение
Если все коэффициенты делятся на общее число, разделите: $6x^2 - 18x + 12 = 0$ → $x^2 - 3x + 2 = 0$, корни 1 и 2 сразу по Виета. Если $a \lt 0$, умножьте на $-1$.
2. Чётный $b$ — четверть дискриминанта
При $b = 2k$: $\ D_1 = k^2 - ac$, $\quad x = \dfrac{-k \pm \sqrt{D_1}}{a}$.
Пример 1.
$3x^2 - 14x + 8 = 0$.
Решение. $k = -7$: $D_1 = 49 - 24 = 25$. $x = \frac{7 \pm 5}{3}$: $x = 4$ или $x = \frac{2}{3}$.
Ответ: $\frac{2}{3}$; 4.
Пример 2.
$15x^2 - 2x - 8 = 0$.
Решение. $k = -1$: $D_1 = 1 + 120 = 121$. $x = \frac{1 \pm 11}{15}$: $x = \frac{4}{5}$ или $x = -\frac{2}{3}$. Обычный дискриминант был бы $4 + 480 = 484$ — числа вчетверо больше.
Ответ: $-\frac{2}{3}$; 0,8.
3. Проверка на полный квадрат
В экзаменационных задачах дискриминант почти всегда — квадрат целого числа. Если получилось 147 или 230, сначала перепроверьте счёт. Полезно помнить последние цифры квадратов: квадрат не может оканчиваться на 2, 3, 7, 8.
Квадраты, которые часто получаются
| $13^2 = 169$ | $17^2 = 289$ | $21^2 = 441$ | $25^2 = 625$ |
| $14^2 = 196$ | $18^2 = 324$ | $22^2 = 484$ | $29^2 = 841$ |
| $15^2 = 225$ | $19^2 = 361$ | $23^2 = 529$ | $31^2 = 961$ |
| $16^2 = 256$ | $20^2 = 400$ | $24^2 = 576$ | $35^2 = 1225$ |
Проверь себя
- Решите $x^2 + 6x - 16 = 0$ через $D_1$.
Показать ответ
$D_1 = 9 + 16 = 25$, $x = -3 \pm 5$: 2 и −8.
- Решите $-4x^2 + 12x - 9 = 0$.
Показать ответ
$4x^2 - 12x + 9 = 0$, $D_1 = 36 - 36 = 0$, $x = 1{,}5$.
- Может ли дискриминант $b^2 - 4ac$ при целых коэффициентах быть равен 23?
Показать ответ
Нет: $b^2 - 4ac$ при делении на 4 даёт остаток 0 или 1 (как $b^2$), а 23 даёт остаток 3.