К методичке В окне печати выберите «Сохранить как PDF». Ответы к задачам раскрыты.

кРепетито · методичка · 4–6 класс · ОГЭ · ЕГЭ

Задачи на движение

Формула пути, движение навстречу и вдогонку, по реке — с таблицей «скорость, время, расстояние» и схемами.

Почти все задачи на движение решаются одной формулой и одной таблицей. Трудность не в вычислениях, а в том, чтобы правильно понять, какие скорости складывать, а какие вычитать, и не перепутать единицы.

Основная формула

$$S = v \cdot t, \qquad v = \frac{S}{t}, \qquad t = \frac{S}{v}$$

$S$ — расстояние (путь), $v$ — скорость, $t$ — время. Единицы должны быть согласованы: если скорость в км/ч, то время в часах, а путь в километрах.

Перед решением полезно заполнить таблицу: строка на каждого участника или каждый участок пути, три столбца — $v$, $t$, $S$. Две клетки в строке известны или выражены через неизвестную, третья находится по формуле.

Движение навстречу и в разные стороны

Движение навстречу v₁ v₂ A B скорость сближения v₁ + v₂
Навстречу: расстояние сокращается на $v_1 + v_2$ за каждую единицу времени.

Когда двое движутся навстречу, за час расстояние между ними уменьшается на сумму их скоростей. Это скорость сближения. При движении в разные стороны та же сумма — скорость удаления.

Пример 1.

Из двух городов, расстояние между которыми 360 км, одновременно навстречу выехали два автомобиля со скоростями 70 км/ч и 50 км/ч. Через сколько часов они встретятся?

Решение. Скорость сближения $70 + 50 = 120$ км/ч. Время до встречи $t = 360 : 120 = 3$ ч.

Ответ: через 3 часа.

Движение вдогонку

Если двое едут в одну сторону и быстрый догоняет медленного, расстояние между ними сокращается на разность скоростей.

Пример 2.

Велосипедист выехал из посёлка со скоростью 12 км/ч. Через 2 часа следом выехал мотоциклист со скоростью 36 км/ч. Через какое время после своего выезда мотоциклист догонит велосипедиста?

Решение. За 2 часа велосипедист отъехал на $12 \cdot 2 = 24$ км. Скорость сближения $36 - 12 = 24$ км/ч. Время $24 : 24 = 1$ ч.

Ответ: через 1 час.

Движение по реке

Скорости на реке

НаправлениеСкорость
по течению$v_{\text{соб}} + v_{\text{теч}}$
против течения$v_{\text{соб}} - v_{\text{теч}}$
плот (нет своей скорости)$v_{\text{теч}}$
собственная скорость$\dfrac{v_{\text{по}} + v_{\text{против}}}{2}$
скорость течения$\dfrac{v_{\text{по}} - v_{\text{против}}}{2}$

Пример 3.

Катер прошёл 48 км по течению за 2 часа, а обратно — за 3 часа. Найдите скорость течения.

Решение. По течению $48 : 2 = 24$ км/ч, против $48 : 3 = 16$ км/ч. Скорость течения $(24 - 16) : 2 = 4$ км/ч.

Ответ: 4 км/ч.

Задачи с уравнением (7–9 класс, ОГЭ №21)

Когда скорость неизвестна, её обозначают $x$ и составляют уравнение по таблице.

Пример 4.

Моторная лодка прошла 30 км против течения и 30 км по течению, затратив на весь путь 8 часов. Скорость течения 2 км/ч. Найдите собственную скорость лодки.

Решение. Пусть собственная скорость $x$ км/ч, $x \gt 2$.

$v$, км/ч$S$, км$t$, ч
против течения$x - 2$30$\frac{30}{x-2}$
по течению$x + 2$30$\frac{30}{x+2}$

Уравнение: $\dfrac{30}{x-2} + \dfrac{30}{x+2} = 8$. Умножаем на $(x-2)(x+2)$: $30(x+2) + 30(x-2) = 8(x^2 - 4)$, то есть $60x = 8x^2 - 32$, или $2x^2 - 15x - 8 = 0$.

Дискриминант $D = 225 + 64 = 289 = 17^2$, корни $x = \frac{15 \pm 17}{4}$: $x = 8$ или $x = -\frac{1}{2}$. Подходит только $x = 8$.

Проверка: $\frac{30}{6} + \frac{30}{10} = 5 + 3 = 8$ ч.

Ответ: 8 км/ч.

Пример 5 (средняя скорость).

Половину пути автомобиль ехал со скоростью 60 км/ч, а вторую половину — 90 км/ч. Найдите среднюю скорость.

Решение. Средняя скорость — это весь путь, делённый на всё время, а не среднее арифметическое скоростей. Пусть каждая половина равна 180 км (число удобное: делится и на 60, и на 90). Время: $180 : 60 = 3$ ч и $180 : 90 = 2$ ч. Средняя скорость $360 : 5 = 72$ км/ч.

Ответ: 72 км/ч.

Ещё разборы

Пример 6 (встреча с задержкой).

Из двух городов, расстояние между которыми 300 км, навстречу выехали автомобиль и автобус. Автобус выехал на 1 час раньше, его скорость 60 км/ч, скорость автомобиля 90 км/ч. Через сколько часов после выезда автомобиля они встретятся?

Решение. За первый час автобус проехал 60 км, осталось 240 км. Дальше едут навстречу со скоростью сближения $150$ км/ч: $240 : 150 = 1{,}6$ ч, то есть 1 ч 36 мин.

Ответ: через 1,6 ч.

Пример 7 (движение по кругу).

Два бегуна стартуют из одной точки круговой дорожки длиной 400 м в одном направлении со скоростями 5 м/с и 4 м/с. Через сколько секунд первый впервые обгонит второго на круг?

Решение. Обогнать на круг — значит пробежать на 400 м больше. Разность скоростей $1$ м/с, время $400 : 1 = 400$ с.

Ответ: через 400 с.

Пример 8 (поезд и столб).

Поезд длиной 300 м проезжает мимо столба за 15 с. За сколько секунд он проедет тоннель длиной 600 м?

Решение. Мимо столба поезд проходит свою длину: скорость $300 : 15 = 20$ м/с. Чтобы целиком проехать тоннель, нужно пройти длину тоннеля плюс длину поезда: $900$ м, время $900 : 20 = 45$ с.

Ответ: 45 с.

Как составлять уравнение: шаблон

  1. Обозначьте за $x$ то, что спрашивают (или скорость, если спрашивают время).
  2. Заполните таблицу: строки — участники или участки, столбцы — $v$, $t$, $S$.
  3. Найдите в условии «лишнее» равенство, которое не использовано в таблице: «затратил на 2 часа меньше», «весь путь занял 8 часов». Оно и есть уравнение.
  4. Решите, проверьте ограничения ($x \gt 0$, скорость против течения положительна) и подстановку.

Коротко о главном

Типичные ошибки
  • Считать среднюю скорость как $\frac{v_1 + v_2}{2}$. Так можно только если участники ехали одинаковое время.
  • Не переводить минуты в часы: 20 минут — это $\frac{1}{3}$ ч, а не $0{,}2$ ч.
  • Забывать про ограничение на корень: скорость положительна, а против течения $x - v_{\text{теч}} \gt 0$.
  • Путать, кто выехал раньше: в задачах вдогонку сначала найдите расстояние, на которое успел уехать первый.

Задачи для самопроверки

  1. Пешеход идёт со скоростью 5 км/ч. Какое расстояние он пройдёт за 2 ч 24 мин?
    Ответ

    2 ч 24 мин = 2,4 ч, путь $5 \cdot 2{,}4 = 12$ км.

  2. Два поезда вышли одновременно навстречу друг другу из пунктов, расстояние между которыми 520 км, и встретились через 4 ч. Скорость одного 60 км/ч. Найдите скорость другого.
    Ответ

    Скорость сближения $520 : 4 = 130$ км/ч, вторая скорость $130 - 60 = 70$ км/ч.

  3. Собственная скорость лодки 15 км/ч, течение 3 км/ч. За сколько часов лодка пройдёт 36 км против течения?
    Ответ

    $36 : 12 = 3$ ч.

  4. Из одного пункта в одном направлении одновременно выехали два велосипедиста со скоростями 14 км/ч и 18 км/ч. Какое расстояние будет между ними через 2,5 ч?
    Ответ

    $(18 - 14) \cdot 2{,}5 = 10$ км.

  5. Первую треть пути автомобиль ехал 40 км/ч, остальное — 80 км/ч. Найдите среднюю скорость.
    Ответ

    Пусть весь путь 240 км: 80 км за 2 ч и 160 км за 2 ч. Средняя скорость $240 : 4 = 60$ км/ч.

  6. Катер прошёл 40 км по течению и вернулся обратно, затратив 4,5 ч. Скорость течения 2 км/ч. Найдите собственную скорость катера.
    Ответ

    $\frac{40}{x+2} + \frac{40}{x-2} = 4{,}5 \Rightarrow 80x = 4{,}5(x^2 - 4) \Rightarrow 9x^2 - 160x - 36 = 0$, $D = 25600 + 1296 = 26896 = 164^2$, $x = \frac{160 + 164}{18} = 18$ км/ч.

Задачи по теме на сайте