Векторы
Координаты, длина, сложение, скалярное произведение и угол между векторами — для 9 класса и ЕГЭ №2.
Содержание
Вектор — направленный отрезок: у него есть длина и направление. Векторы позволяют решать геометрические задачи алгебраически, через координаты. В ЕГЭ профильного уровня им посвящено задание №2.
Координаты и длина
Если $A(x_1;\ y_1)$ и $B(x_2;\ y_2)$, то $\overrightarrow{AB} = (x_2 - x_1;\ y_2 - y_1)$ — «конец минус начало».
Длина вектора $\vec a = (x;\ y)$: $|\vec a| = \sqrt{x^2 + y^2}$. В пространстве добавляется третья координата: $\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$.
Действия с векторами
Действия в координатах
| Действие | Формула |
|---|---|
| сумма | $\vec a + \vec b = (x_1 + x_2;\ y_1 + y_2)$ |
| разность | $\vec a - \vec b = (x_1 - x_2;\ y_1 - y_2)$ |
| умножение на число | $k\vec a = (kx;\ ky)$ |
| скалярное произведение | $\vec a \cdot \vec b = x_1x_2 + y_1y_2 = |\vec a||\vec b|\cos \varphi$ |
| угол | $\cos \varphi = \dfrac{\vec a \cdot \vec b}{|\vec a||\vec b|}$ |
| перпендикулярность | $\vec a \cdot \vec b = 0$ |
| коллинеарность | $\frac{x_1}{x_2} = \frac{y_1}{y_2}$ |
Геометрически сумма строится по правилу треугольника (конец первого — начало второго) или параллелограмма (общее начало, сумма — диагональ).
Пример 1.
Даны $A(1;\ -2)$ и $B(7;\ 6)$. Найдите координаты и длину $\overrightarrow{AB}$.
Решение. $\overrightarrow{AB} = (6;\ 8)$, $|\overrightarrow{AB}| = \sqrt{36 + 64} = 10$.
Ответ: $(6;\ 8)$, длина 10.
Пример 2.
$\vec a = (3;\ -1)$, $\vec b = (2;\ 5)$. Найдите длину вектора $2\vec a - \vec b$.
Решение. $2\vec a = (6;\ -2)$, $2\vec a - \vec b = (4;\ -7)$. Длина $\sqrt{16 + 49} = \sqrt{65}$.
Ответ: $\sqrt{65}$.
Пример 3.
Найдите угол между векторами $\vec a = (1;\ 2)$ и $\vec b = (3;\ 1)$.
Решение. $\vec a \cdot \vec b = 3 + 2 = 5$, $|\vec a| = \sqrt{5}$, $|\vec b| = \sqrt{10}$. $\cos \varphi = \frac{5}{\sqrt{50}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$, $\varphi = 45°$.
Ответ: 45°.
Пример 4.
При каком $m$ векторы $\vec a = (m;\ 4)$ и $\vec b = (2;\ -3)$ перпендикулярны?
Решение. $2m - 12 = 0$, $m = 6$.
Ответ: 6.
Пример 5.
Длины векторов $\vec a$ и $\vec b$ равны 3 и 4, угол между ними 60°. Найдите $|\vec a + \vec b|$.
Решение. $|\vec a + \vec b|^2 = |\vec a|^2 + 2\vec a \cdot \vec b + |\vec b|^2 = 9 + 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot \frac{1}{2} + 16 = 37$. Значит, $|\vec a + \vec b| = \sqrt{37}$.
Ответ: $\sqrt{37}$.
Середина отрезка
Координаты середины: $M\left(\frac{x_1 + x_2}{2};\ \frac{y_1 + y_2}{2}\right)$. Это часто нужно в задачах про медианы и диагонали параллелограмма.
Ещё разборы
Пример 6 (вектор по правилу параллелограмма).
$ABCD$ — квадрат со стороной 4. Найдите $|\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}|$ и $|\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AD}|$.
Решение. По правилу параллелограмма $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AC}$ — диагональ, длина $4\sqrt{2}$. Разность $\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{DB}$ — другая диагональ, тоже $4\sqrt{2}$.
Ответ: $4\sqrt{2}$ и $4\sqrt{2}$.
Пример 7 (скалярное произведение в треугольнике).
Правильный треугольник $ABC$ со стороной 2. Найдите $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}$ и $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC}$.
Решение. Угол между $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{AC}$ равен 60°: $2 \cdot 2 \cdot \frac{1}{2} = 2$. Векторы $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{BC}$ надо отложить от одной точки: угол между ними 120° (а не 60°!), произведение $2 \cdot 2 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = -2$.
Ответ: 2 и −2.
Пример 8 (четвёртая вершина параллелограмма).
$A(1;\ 2)$, $B(4;\ 3)$, $C(6;\ 7)$. Найдите вершину $D$ параллелограмма $ABCD$.
Решение. $\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC} = (2;\ 4)$. $D = (1 + 2;\ 2 + 4) = (3;\ 6)$.
Ответ: $(3;\ 6)$.
Коротко о главном
- Координаты вектора — «конец минус начало», длина — корень из суммы квадратов.
- Скалярное произведение $x_1x_2 + y_1y_2 = |\vec a||\vec b|\cos\varphi$; ноль — перпендикулярность.
- Угол между векторами ищут, отложив их от одной точки.
- $|\vec a + \vec b|^2 = |\vec a|^2 + 2\vec a \cdot \vec b + |\vec b|^2$.
Задача посложнее
Пример 9 (проекция вектора).
Найдите длину проекции вектора $\vec a = (4;\ 3)$ на направление вектора $\vec b = (1;\ 0)$ и на направление $\vec c = (3;\ 4)$.
Решение. Проекция равна $\frac{\vec a \cdot \vec b}{|\vec b|}$. На $\vec b$: $\frac{4}{1} = 4$. На $\vec c$: $\frac{12 + 12}{5} = 4{,}8$.
Ответ: 4 и 4,8.
Частый вопрос: «Чем вектор отличается от отрезка?» У отрезка есть только длина, у вектора — ещё и направление. Векторы $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{BA}$ имеют одинаковую длину, но противоположны: $\overrightarrow{AB} = -\overrightarrow{BA}$.
- Вычитать «начало минус конец» — получается противоположный вектор.
- Складывать длины векторов вместо самих векторов: $|\vec a + \vec b| \ne |\vec a| + |\vec b|$ в общем случае.
- Считать скалярное произведение вектором — это число.
- Забывать квадраты в формуле длины.
Задачи для самопроверки
- Найдите длину вектора $(-5;\ 12)$.
Ответ
13.
- $\vec a = (2;\ 3)$, $\vec b = (-1;\ 4)$. Найдите $\vec a \cdot \vec b$.
Ответ
$-2 + 12 = 10$.
- Найдите координаты середины отрезка с концами $(-3;\ 8)$ и $(5;\ 2)$.
Ответ
$(1;\ 5)$.
- При каком $k$ векторы $(k;\ 6)$ и $(2;\ 3)$ коллинеарны?
Ответ
$k = 4$.
- $|\vec a| = 2$, $|\vec b| = 5$, $\vec a \cdot \vec b = -5$. Найдите угол между векторами.
Ответ
$\cos \varphi = -\frac{1}{2}$, угол 120°.
- Найдите длину вектора $(1;\ 2;\ 2)$ в пространстве.
Ответ
3.
Задачи по теме
Навыки по теме
- МГУ им. М.В. Ломоносова
- Творческая лаборатория «Дважды Два»
- 20+ лет стажа преподавания