К содержанию
кРепетито

8–9 класс · ОГЭ · ЕГЭ7 мин чтения

Теорема Пифагора и подобие треугольников

Теорема Пифагора и обратная к ней, признаки подобия, отношение площадей и пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике.

Скачать PDF Задачи по теме
Содержание

Теорема Пифагора и подобие — два главных инструмента планиметрии. Первая связывает стороны прямоугольного треугольника, второе позволяет переносить длины и отношения из одного треугольника в другой. Почти любая геометрическая задача ОГЭ решается одним из них.

Теорема Пифагора

Прямоугольный треугольник a b c
$c$ — гипотенуза (лежит против прямого угла), $a$ и $b$ — катеты.

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов: $$c^2 = a^2 + b^2.$$

Обратная теорема: если $c^2 = a^2 + b^2$, то угол против стороны $c$ прямой.

Пример 1.

Катеты прямоугольного треугольника равны 9 и 12. Найдите гипотенузу.

Решение. $c = \sqrt{81 + 144} = \sqrt{225} = 15$.

Ответ: 15.

Пример 2.

Диагональ прямоугольника равна 26, одна сторона 10. Найдите площадь прямоугольника.

Решение. Диагональ делит прямоугольник на два прямоугольных треугольника. Вторая сторона $\sqrt{676 - 100} = \sqrt{576} = 24$. Площадь $10 \cdot 24 = 240$.

Ответ: 240.

Пример 3.

В равнобедренном треугольнике боковая сторона 13, основание 10. Найдите высоту, проведённую к основанию.

Решение. Высота к основанию равнобедренного треугольника является медианой и делит основание пополам: получаем прямоугольный треугольник с гипотенузой 13 и катетом 5. Высота $\sqrt{169 - 25} = 12$.

Ответ: 12.

Подобные треугольники

Треугольники подобны, если их углы соответственно равны, а сходственные стороны пропорциональны: $\dfrac{A_1B_1}{AB} = \dfrac{B_1C_1}{BC} = \dfrac{A_1C_1}{AC} = k$. Число $k$ — коэффициент подобия.

Признаки подобия

ПризнакЧто достаточно проверить
по двум угламдва угла одного равны двум углам другого
по двум сторонам и углудве стороны пропорциональны, углы между ними равны
по трём сторонамвсе три стороны пропорциональны

Отношение периметров, высот, медиан равно $k$; отношение площадей равно $k^2$.

Самая частая ситуация: прямая, параллельная стороне треугольника, отсекает от него подобный треугольник (углы при параллельных прямых равны).

Пример 4.

В треугольнике $ABC$ отрезок $MN$ параллелен $AC$, $M \in AB$, $N \in BC$. $BM = 4$, $MA = 6$, $AC = 15$. Найдите $MN$.

Решение. $\triangle MBN \sim \triangle ABC$ по двум углам. $k = \frac{BM}{BA} = \frac{4}{10} = 0{,}4$. $MN = 0{,}4 \cdot 15 = 6$.

Ответ: 6.

Пример 5.

Площадь треугольника 72. Средняя линия отсекает от него треугольник. Найдите его площадь.

Решение. Средняя линия параллельна стороне и равна её половине, $k = \frac{1}{2}$. Площадь отсечённого треугольника $72 \cdot \frac{1}{4} = 18$.

Ответ: 18.

Пример 6 (практическая задача).

Человек ростом 1,8 м стоит в 6 м от фонаря. Его тень имеет длину 3 м. Найдите высоту фонаря.

Решение. Человек и фонарь вертикальны, лучи образуют подобные прямоугольные треугольники с общим углом. Тень человека 3 м, «тень» фонаря $6 + 3 = 9$ м, $k = 3$. Высота фонаря $1{,}8 \cdot 3 = 5{,}4$ м.

Ответ: 5,4 м.

Высота из прямого угла

Высота $h$, опущенная на гипотенузу, делит её на отрезки $c_a$ и $c_b$ (проекции катетов) и даёт три подобных треугольника. Отсюда

$$h^2 = c_a \cdot c_b, \qquad a^2 = c \cdot c_a, \qquad b^2 = c \cdot c_b, \qquad h = \frac{ab}{c}.$$

Ещё разборы

Пример 7 (трапеция).

Основания равнобедренной трапеции 7 и 19, боковая сторона 10. Найдите высоту.

Решение. Опустим высоты из концов меньшего основания. Они отсекают от большего основания два равных отрезка по $\frac{19 - 7}{2} = 6$. В прямоугольном треугольнике с гипотенузой 10 и катетом 6 второй катет $\sqrt{100 - 36} = 8$ — это и есть высота.

Ответ: 8.

Пример 8 (подобие в трапеции).

Диагонали трапеции $ABCD$ с основаниями $AD = 12$ и $BC = 4$ пересекаются в точке $O$. Найдите $AO$, если $AC = 20$.

Решение. Треугольники $AOD$ и $COB$ подобны (накрест лежащие углы при параллельных основаниях), $k = \frac{AD}{BC} = 3$. Значит, $AO : OC = 3 : 1$, и $AO = \frac{3}{4} \cdot 20 = 15$.

Ответ: 15.

Пример 9 (свойство биссектрисы).

В треугольнике $ABC$ стороны $AB = 6$, $BC = 9$, $AC = 10$. Биссектриса угла $B$ делит $AC$ на отрезки. Найдите их.

Решение. Биссектриса делит противоположную сторону в отношении прилежащих сторон: $\frac{AL}{LC} = \frac{AB}{BC} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}$. Всего 5 частей по 2: $AL = 4$, $LC = 6$.

Ответ: 4 и 6.

Коротко о главном

  • $c^2 = a^2 + b^2$ только для прямоугольного треугольника; обратная теорема проверяет, прямой ли угол.
  • Подобие доказываем чаще всего по двум углам: параллельные прямые, общий угол, вертикальные углы.
  • Линейные элементы относятся как $k$, площади — как $k^2$.
  • В трапеции диагонали делятся точкой пересечения в отношении оснований.
Типичные ошибки
  • Применять теорему Пифагора к непрямоугольному треугольнику.
  • Принимать за гипотенузу не самую длинную сторону.
  • Составлять пропорцию из несходственных сторон. Сходственные стороны лежат против равных углов.
  • Считать, что площади относятся как $k$, а не как $k^2$.

Задачи для самопроверки

  1. Гипотенуза 17, катет 8. Найдите второй катет.
    Ответ

    15.

  2. Является ли треугольник со сторонами 7, 24, 25 прямоугольным?
    Ответ

    Да: $49 + 576 = 625$.

  3. Сторона ромба 10, одна диагональ 12. Найдите другую диагональ.
    Ответ

    Половины диагоналей — катеты: $\sqrt{100 - 36} = 8$, диагональ 16.

  4. Треугольники подобны с коэффициентом 3, площадь меньшего 5. Найдите площадь большего.
    Ответ

    45.

  5. Катеты 6 и 8. Найдите высоту, проведённую к гипотенузе.
    Ответ

    $h = \frac{6 \cdot 8}{10} = 4{,}8$.

  6. Лестница длиной 5 м приставлена к стене, нижний конец в 1,4 м от стены. На какой высоте верхний конец?
    Ответ

    $\sqrt{25 - 1{,}96} = \sqrt{23{,}04} = 4{,}8$ м.

Задачи по теме

Навыки по теме

Теорема Пифагора: египетские тройки≈ 3 мин Площадь фигуры на клетчатой бумаге: формула Пика≈ 4 мин Табличные значения синуса и косинуса по окружности≈ 3 мин
АВ
Методичку подготовил
Александр Владимирович
  • МГУ им. М.В. Ломоносова
  • Творческая лаборатория «Дважды Два»
  • 20+ лет стажа преподавания