К методичке В окне печати выберите «Сохранить как PDF». Ответы к задачам раскрыты.

кРепетито · методичка · 10–11 класс · ЕГЭ

Стереометрия: объёмы и площади поверхностей

Призма, параллелепипед, пирамида, цилиндр, конус, шар: формулы объёмов и площадей и как меняется объём при изменении размеров.

Стереометрия в ЕГЭ — это задание №3 (вычислить объём или площадь, часто по отношению размеров) и задача №14 с развёрнутым решением. Для первой нужно уверенно знать формулы и понимать, как объём зависит от линейных размеров.

Многогранники

Объёмы и площади многогранников

ТелоОбъёмПлощадь поверхности
куб с ребром $a$$a^3$$6a^2$
прямоугольный параллелепипед$abc$$2(ab + bc + ac)$
прямая призма$S_{\text{осн}} \cdot h$$2S_{\text{осн}} + P_{\text{осн}} \cdot h$
пирамида$\frac{1}{3} S_{\text{осн}} \cdot h$$S_{\text{осн}} + S_{\text{бок}}$
правильная пирамида$\frac{1}{3} S_{\text{осн}} \cdot h$$S_{\text{бок}} = \frac{1}{2} P_{\text{осн}} \cdot l$ ($l$ — апофема)

Диагональ прямоугольного параллелепипеда: $d^2 = a^2 + b^2 + c^2$.

Тела вращения

Объёмы и площади тел вращения

ТелоОбъёмПлощадь
цилиндр$\pi R^2 h$боковая $2\pi R h$, полная $2\pi R(R + h)$
конус$\frac{1}{3}\pi R^2 h$боковая $\pi R l$, полная $\pi R(R + l)$
шар (сфера)$\frac{4}{3}\pi R^3$$4\pi R^2$

У конуса образующая $l = \sqrt{R^2 + h^2}$.

Как меняется объём при изменении размеров

Если все линейные размеры тела увеличить в $k$ раз, площадь поверхности увеличится в $k^2$ раз, а объём — в $k^3$ раз.

Если меняется только один размер, смотрим на формулу: у цилиндра $V = \pi R^2 h$, поэтому увеличение радиуса в 2 раза даёт рост объёма в 4 раза, а увеличение высоты в 2 раза — в 2 раза.

Пример 1.

Объём куба равен 64. Найдите площадь его поверхности.

Решение. $a = \sqrt[3]{64} = 4$, $S = 6 \cdot 16 = 96$.

Ответ: 96.

Пример 2.

Радиус основания цилиндра увеличили в 3 раза, а высоту уменьшили в 2 раза. Во сколько раз увеличился объём?

Решение. $V' = \pi (3R)^2 \cdot \frac{h}{2} = \frac{9}{2} \pi R^2 h$. Объём увеличился в 4,5 раза.

Ответ: в 4,5 раза.

Пример 3.

Конус и цилиндр имеют общее основание и равные высоты. Объём цилиндра 27. Найдите объём конуса.

Решение. Объём конуса втрое меньше: $27 : 3 = 9$.

Ответ: 9.

Пример 4.

В правильной четырёхугольной пирамиде сторона основания 6, высота 4. Найдите площадь боковой поверхности.

Решение. Апофема — гипотенуза треугольника с катетами $h = 4$ и половиной стороны основания $3$: $l = 5$. $S_{\text{бок}} = \frac{1}{2} \cdot 24 \cdot 5 = 60$.

Ответ: 60.

Пример 5.

Вода в цилиндрическом сосуде стоит на уровне 48 см. Её перелили в сосуд вдвое большего диаметра. На какой высоте окажется вода?

Решение. Площадь основания выросла в $2^2 = 4$ раза, объём тот же, значит высота уменьшилась в 4 раза: 12 см.

Ответ: 12 см.

Пример 6.

Площадь поверхности шара 36π. Найдите его объём, делённый на π.

Решение. $4\pi R^2 = 36\pi$, $R = 3$. $V = \frac{4}{3}\pi \cdot 27 = 36\pi$. Ответ 36.

Ответ: 36.

Составные многогранники

Объём фигуры, составленной из параллелепипедов, считают по частям: либо складывают объёмы частей, либо из объёма «объемлющего» параллелепипеда вычитают вырезанные части. Площадь поверхности составного тела удобно считать по проекциям: сколько квадратов видно спереди, сверху, сбоку — и удвоить (если нет «невидимых» уступов).

Ещё разборы

Пример 7 (составной многогранник).

Из куба с ребром 4 вырезали прямоугольный параллелепипед $2 \times 2 \times 4$, проходящий насквозь. Найдите объём оставшейся части.

Решение. $V = 4^3 - 2 \cdot 2 \cdot 4 = 64 - 16 = 48$.

Ответ: 48.

Пример 8 (шар, вписанный в цилиндр).

Шар вписан в цилиндр (касается оснований и боковой поверхности). Объём цилиндра 30. Найдите объём шара.

Решение. У цилиндра $h = 2R$: $V_{\text{ц}} = \pi R^2 \cdot 2R = 2\pi R^3 = 30$, $\pi R^3 = 15$. $V_{\text{ш}} = \frac{4}{3}\pi R^3 = \frac{4}{3} \cdot 15 = 20$.

Ответ: 20.

Пример 9 (отсечённая пирамида).

Объём треугольной пирамиды 48. Через середины трёх боковых рёбер проведена плоскость. Найдите объём отсечённой меньшей пирамиды.

Решение. Меньшая пирамида подобна исходной с коэффициентом $\frac{1}{2}$, объёмы относятся как $k^3 = \frac{1}{8}$: $48 : 8 = 6$.

Ответ: 6.

Коротко о главном

Частый вопрос

Как найти площадь поверхности составного тела из кубиков? Посмотрите на тело с шести сторон (спереди, сзади, слева, справа, сверху, снизу) и сложите видимые площади. Если в теле нет «ниш», противоположные виды одинаковы, и достаточно удвоить сумму трёх. Внутренние грани, по которым кубики склеены, в поверхность не входят.

Типичные ошибки
  • Забывать $\frac{1}{3}$ в объёме пирамиды и конуса.
  • Путать высоту пирамиды и апофему.
  • Считать, что при удвоении диаметра объём удваивается.
  • Подставлять диаметр вместо радиуса.

Задачи для самопроверки

  1. Измерения параллелепипеда 2, 3, 6. Найдите диагональ.
    Ответ

    $\sqrt{4 + 9 + 36} = 7$.

  2. Ребро куба увеличили в 2 раза. Во сколько раз увеличилась площадь поверхности?
    Ответ

    В 4 раза.

  3. Радиус основания конуса 3, высота 4. Найдите площадь боковой поверхности, делённую на π.
    Ответ

    $l = 5$, $\pi \cdot 3 \cdot 5 = 15\pi$, ответ 15.

  4. Объём пирамиды 40, площадь основания 15. Найдите высоту.
    Ответ

    $h = \frac{3 \cdot 40}{15} = 8$.

  5. Радиус шара увеличили в 2 раза. Во сколько раз увеличился объём?
    Ответ

    В 8 раз.

  6. Основание прямой призмы — прямоугольный треугольник с катетами 3 и 4, высота призмы 10. Найдите объём и площадь боковой поверхности.
    Ответ

    $V = 6 \cdot 10 = 60$; $S_{\text{бок}} = (3 + 4 + 5) \cdot 10 = 120$.

Задачи по теме на сайте