К методичке В окне печати выберите «Сохранить как PDF». Ответы к задачам раскрыты.

кРепетито · методичка · 6–7 класс · ОГЭ

Пропорции и пропорциональность

Основное свойство пропорции, прямая и обратная пропорциональность, масштаб и задачи на части.

Пропорция — равенство двух отношений. Это один из самых практичных инструментов школьной математики: им решают задачи на цену и количество, масштаб карты, рецепты, проценты и подобные треугольники.

Отношение и пропорция

Отношение $a : b$ показывает, во сколько раз $a$ больше $b$ (или какую часть $a$ составляет от $b$). Пропорция — это равенство $\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}$. Числа $a$ и $d$ называют крайними членами, $b$ и $c$ — средними.

Основное свойство: произведение крайних членов равно произведению средних: $a \cdot d = b \cdot c$. Отсюда неизвестный член: $x = \dfrac{b \cdot c}{d}$ и т. п.

Пример 1.

Решите пропорцию $\dfrac{x}{12} = \dfrac{5}{8}$.

Решение. $8x = 12 \cdot 5 = 60$, $x = 7{,}5$.

Ответ: 7,5.

Пример 2.

Решите уравнение $\dfrac{x + 3}{4} = \dfrac{2x - 1}{3}$.

Решение. По основному свойству $3(x + 3) = 4(2x - 1)$, $3x + 9 = 8x - 4$, $5x = 13$, $x = 2{,}6$.

Ответ: 2,6.

Прямая и обратная пропорциональность

Как отличить

ПрямаяОбратная
смыслодна величина растёт во столько же раз, во сколько другаяодна растёт во столько раз, во сколько другая уменьшается
формула$y = kx$$y = \dfrac{k}{x}$
постоянноотношение $\frac{y}{x}$произведение $x \cdot y$
примерыцена и количество товара; путь и время при постоянной скоростискорость и время на одном пути; число рабочих и время работы

В прямой пропорциональности отношения записываются «в одну сторону», в обратной одно отношение переворачивают.

Пример 3 (прямая).

3 кг яблок стоят 270 рублей. Сколько стоят 5 кг?

Решение. Стоимость прямо пропорциональна массе: $\frac{3}{5} = \frac{270}{x}$, $x = \frac{5 \cdot 270}{3} = 450$.

Ответ: 450 рублей.

Пример 4 (обратная).

6 рабочих выполняют работу за 10 дней. За сколько дней выполнят ту же работу 4 рабочих?

Решение. Чем меньше рабочих, тем больше дней — обратная пропорциональность. Произведение постоянно: $6 \cdot 10 = 4 \cdot x$, $x = 15$.

Ответ: 15 дней.

Масштаб

Масштаб $1 : 50\,000$ означает, что 1 см на карте соответствует $50\,000$ см $= 500$ м на местности.

Пример 5.

Расстояние на карте масштаба $1 : 200\,000$ равно 7,5 см. Каково расстояние на местности?

Решение. $7{,}5 \cdot 200\,000 = 1\,500\,000$ см $= 15\,000$ м $= 15$ км.

Ответ: 15 км.

Деление в данном отношении

Чтобы разделить число в отношении $a : b : c$, его делят на $a + b + c$ частей и берут нужное количество частей.

Пример 6.

Для салата берут огурцы, помидоры и перец в отношении $3 : 4 : 1$. Сколько граммов помидоров нужно для 1,2 кг салата?

Решение. Всего частей $3 + 4 + 1 = 8$, одна часть $1200 : 8 = 150$ г. Помидоров $4 \cdot 150 = 600$ г.

Ответ: 600 г.

Ещё разборы

Пример 7 (рецепт).

На 4 порции блинов нужно 300 мл молока и 2 яйца. Сколько молока и яиц нужно на 10 порций?

Решение. Количество продуктов прямо пропорционально числу порций, коэффициент $\frac{10}{4} = 2{,}5$. Молока $300 \cdot 2{,}5 = 750$ мл, яиц $2 \cdot 2{,}5 = 5$.

Ответ: 750 мл молока и 5 яиц.

Пример 8 (сложная пропорциональность).

5 принтеров печатают 600 страниц за 4 минуты. За сколько минут 3 принтера напечатают 900 страниц?

Решение. Один принтер за минуту печатает $600 : 5 : 4 = 30$ страниц. Три принтера — 90 страниц в минуту. Время $900 : 90 = 10$ минут. Приём «через единицу» спасает от путаницы прямой и обратной пропорциональности.

Ответ: 10 минут.

Пример 9 (производная пропорция).

Найдите $\frac{a}{b}$, если $\frac{a + b}{b} = \frac{7}{3}$.

Решение. $\frac{a + b}{b} = \frac{a}{b} + 1 = \frac{7}{3}$, значит $\frac{a}{b} = \frac{4}{3}$.

Ответ: $\frac{4}{3}$.

Коротко о главном

Частый вопрос

Как понять, прямая или обратная пропорциональность? Мысленно удвойте одну величину и спросите себя, что произойдёт с другой. Удвоили количество товара — стоимость удвоилась: прямая. Удвоили число рабочих — время уменьшилось вдвое: обратная. Если ни то, ни другое (например, возраст и рост), пропорциональности нет вовсе, и пропорцию составлять нельзя.

Типичные ошибки
  • Решать задачу на обратную пропорциональность как на прямую: «больше рабочих — больше дней».
  • Путать порядок в отношении: «отношение мальчиков к девочкам 2 : 3» — мальчиков меньше.
  • В масштабе забывать перевести сантиметры в километры: в километре $100\,000$ см.

Задачи для самопроверки

  1. Решите пропорцию $\frac{9}{x} = \frac{3}{7}$.
    Ответ

    $x = 21$.

  2. Решите уравнение $\frac{2x}{5} = \frac{x + 6}{4}$.
    Ответ

    $8x = 5x + 30$, $x = 10$.

  3. Автомобиль на 100 км расходует 8 л бензина. Сколько нужно на 350 км?
    Ответ

    28 л.

  4. При скорости 60 км/ч путь занимает 3 ч. Сколько времени займёт путь при скорости 90 км/ч?
    Ответ

    2 ч.

  5. Числа относятся как $2 : 5$, их сумма 63. Найдите числа.
    Ответ

    Одна часть $63 : 7 = 9$; числа 18 и 45.

  6. На плане масштаба $1 : 250$ комната имеет длину 2,4 см. Какова её настоящая длина?
    Ответ

    $2{,}4 \cdot 250 = 600$ см = 6 м.

Задачи по теме на сайте