К методичке В окне печати выберите «Сохранить как PDF». Ответы к задачам раскрыты.

кРепетито · методичка · 2–5 класс

Порядок действий в выражениях

Скобки, умножение и деление, сложение и вычитание: как расставить порядок и не ошибиться в длинном примере.

Пример $2 + 3 \cdot 4$ равен 14, а не 20. Чтобы любой человек получил одинаковый ответ, в математике договорились о порядке действий. Правило короткое, но ошибок в нём делают очень много — особенно в длинных выражениях с делением.

Правило порядка действий

  1. Сначала выполняются действия в скобках.
  2. Затем возведение в степень (с 5–6 класса).
  3. Затем умножение и деление — по порядку слева направо.
  4. В конце сложение и вычитание — тоже слева направо.

Важная деталь: умножение не «главнее» деления, а сложение не «главнее» вычитания. Действия одной ступени выполняются строго в том порядке, в каком они записаны.

Верно: $24 : 4 \cdot 2 = 6 \cdot 2 = 12$

Неверно: $24 : 4 \cdot 2 = 24 : 8 = 3$

Как расставлять порядок

Перед вычислением подпишите над знаками номера действий. Это занимает несколько секунд и спасает от большинства ошибок.

  1. Найдите скобки. Внутри каждой скобки действует то же правило.
  2. Слева направо пронумеруйте умножения и деления.
  3. Слева направо пронумеруйте сложения и вычитания.
  4. Вычисляйте по номерам, записывая промежуточные результаты.

Пример 1.

Вычислите $36 - 8 \cdot 3 + 12 : 4$.

Решение. Сначала умножение и деление: $8 \cdot 3 = 24$, $12 : 4 = 3$. Получаем $36 - 24 + 3$. Теперь слева направо: $36 - 24 = 12$, $12 + 3 = 15$.

Ответ: 15.

Пример 2.

Вычислите $(45 - 15) : 6 \cdot (2 + 3)$.

Решение. Скобки: $45 - 15 = 30$, $2 + 3 = 5$. Остаётся $30 : 6 \cdot 5$. Слева направо: $30 : 6 = 5$, $5 \cdot 5 = 25$.

Ответ: 25.

Пример 3.

Вычислите $100 - 2 \cdot (18 + 7 \cdot 4)$.

Решение. Внутри скобки сначала умножение: $7 \cdot 4 = 28$, затем $18 + 28 = 46$. Дальше $2 \cdot 46 = 92$ и $100 - 92 = 8$.

Ответ: 8.

Пример 4 (5 класс, со степенью).

Вычислите $2 \cdot 3^2 - 4^2 : 8$.

Решение. Степени: $3^2 = 9$, $4^2 = 16$. Затем $2 \cdot 9 = 18$ и $16 : 8 = 2$. Итог: $18 - 2 = 16$.

Ответ: 16.

Вложенные скобки и дробная черта

Если скобки вложены друг в друга, начинают с самых внутренних: в $3 \cdot (20 - (4 + 6))$ сначала $4 + 6 = 10$, затем $20 - 10 = 10$, затем $3 \cdot 10 = 30$.

Дробная черта работает как скобки: числитель и знаменатель вычисляются отдельно, а потом делятся.

$$\frac{12 + 18}{2 \cdot 5} = \frac{30}{10} = 3.$$

Шпаргалка

СтупеньДействияПорядок внутри
0скобки, дробная чертас внутренних
1степенисправа налево в «башнях»
2умножение, делениеслева направо
3сложение, вычитаниеслева направо

Законы, которые упрощают счёт

Иногда порядок можно менять — но только по законам арифметики, а не «как удобнее».

Ещё разборы

Пример 5 (дроби).

Вычислите $\dfrac{3}{4} + \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{3}$.

Решение. Сначала умножение: $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{6}$. Потом сложение: $\frac{3}{4} + \frac{1}{6} = \frac{9}{12} + \frac{2}{12} = \frac{11}{12}$. Если сложить раньше, получится другое число — $\frac{5}{12}$.

Ответ: $\frac{11}{12}$.

Пример 6 (отрицательные числа, 6 класс).

Вычислите $-3 \cdot (-4) - 20 : (-5)$.

Решение. Умножение и деление: $-3 \cdot (-4) = 12$, $20 : (-5) = -4$. Затем $12 - (-4) = 16$.

Ответ: 16.

Пример 7 (составить выражение).

Купили 3 тетради по 12 рублей и 2 ручки по 25 рублей. Заплатили 100 рублей. Сколько сдачи? Запишите решение одним выражением.

Решение. $100 - (3 \cdot 12 + 2 \cdot 25) = 100 - (36 + 50) = 100 - 86 = 14$. Скобки нужны: без них из 100 вычлось бы только $3 \cdot 12$, а $2 \cdot 25$ прибавилось бы.

Ответ: 14 рублей.

Как проверить себя

Длинный пример удобно проверять оценкой: округлите числа и прикиньте результат. В примере $100 - 2 \cdot (18 + 7 \cdot 4)$ скобка «около пятидесяти», удвоенная — «около ста», значит ответ — небольшое число. Если получилось 192 или −1000, где-то нарушен порядок.

Коротко о главном

Типичные ошибки
  • Выполнять умножение раньше деления, если деление стоит левее: $48 : 6 \cdot 2 = 16$, а не 4.
  • Выполнять сложение раньше вычитания: $20 - 5 + 3 = 18$, а не 12.
  • Терять минус перед скобкой: $50 - (10 + 5) = 35$, а не $50 - 10 + 5$.
  • Переписывать пример без нумерации и «перескакивать» действие.

Задачи для самопроверки

  1. Вычислите $18 + 12 : 3 - 2$.
    Ответ

    20: $12 : 3 = 4$, $18 + 4 - 2 = 20$.

  2. Вычислите $64 : 8 \cdot 4$.
    Ответ

    32.

  3. Вычислите $(7 + 5) \cdot (9 - 4)$.
    Ответ

    60.

  4. Вычислите $90 - 3 \cdot (24 - 4 \cdot 5)$.
    Ответ

    78: $4 \cdot 5 = 20$, $24 - 20 = 4$, $3 \cdot 4 = 12$, $90 - 12 = 78$.

  5. Расставьте скобки, чтобы равенство стало верным: $8 + 4 : 2 = 6$.
    Ответ

    $(8 + 4) : 2 = 6$.

  6. Вычислите $5^2 - 2^3 \cdot 2$.
    Ответ

    9: $25 - 8 \cdot 2 = 25 - 16 = 9$.

  7. Вычислите удобным способом $4 \cdot 37 \cdot 25$.
    Ответ

    3700: $4 \cdot 25 = 100$, $100 \cdot 37 = 3700$.

Задачи по теме на сайте