К содержанию
кРепетито

6–7 класс · ОГЭ7 мин чтения

Отрицательные числа и модуль

Координатная прямая, сравнение, модуль, правила знаков при сложении, умножении и делении.

Скачать PDF Задачи по теме
Содержание

Отрицательные числа описывают то, что «ниже нуля»: температуру, долг, высоту ниже уровня моря. Правил всего несколько, но в каждом есть ловушка — особенно в вычитании отрицательного числа и в знаке произведения.

Координатная прямая

Координатная прямая −5−4−3−2−1012345 −33
Числа $3$ и $-3$ противоположны: они на одном расстоянии от нуля.

Справа от нуля положительные числа, слева — отрицательные. Из двух чисел больше то, которое на прямой правее: $-2 \gt -5$, потому что $-2$ ближе к нулю и правее.

Модуль

Модуль числа $|a|$ — это расстояние от нуля до точки $a$. Поэтому модуль никогда не бывает отрицательным: $|7| = 7$, $|-7| = 7$, $|0| = 0$.

Из двух отрицательных чисел больше то, у которого модуль меньше: $-0{,}3 \gt -0{,}5$.

Правила действий

Знаки

ДействиеПравилоПример
сложение одного знакаскладываем модули, знак общий$-4 + (-6) = -10$
сложение разных знаковиз большего модуля вычитаем меньший, знак того, у кого модуль больше$-9 + 5 = -4$
вычитаниеприбавляем противоположное$3 - (-8) = 3 + 8 = 11$
умножение, делениеодинаковые знаки — «плюс», разные — «минус»$(-6)\cdot(-3) = 18$, $\ -20 : 4 = -5$
степеньчётная степень отрицательного — положительна, нечётная — отрицательна$(-2)^4 = 16$, $\ (-2)^3 = -8$

При умножении нескольких множителей считаем минусы: чётное количество — результат положительный, нечётное — отрицательный.

Пример 1.

Вычислите $-12 + 7 - (-5) - 9$.

Решение. Заменяем вычитание отрицательного сложением: $-12 + 7 + 5 - 9$. Складываем положительные отдельно, отрицательные отдельно: $12 - 21 = -9$.

Ответ: −9.

Пример 2.

Вычислите $(-3) \cdot 4 \cdot (-5) \cdot (-1)$.

Решение. Минусов три — нечётное число, результат отрицательный. Модуль $3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 1 = 60$.

Ответ: −60.

Пример 3.

Вычислите $-2^2 + (-3)^2$.

Решение. В записи $-2^2$ степень относится только к двойке: $-2^2 = -4$. А $(-3)^2 = 9$. Итог: $-4 + 9 = 5$.

Ответ: 5.

Пример 4.

Вычислите $\dfrac{-18 + 6 \cdot (-2)}{-5}$.

Решение. Числитель: $6 \cdot (-2) = -12$, $-18 - 12 = -30$. Делим: $-30 : (-5) = 6$.

Ответ: 6.

Пример 5.

Утром было $-7°$, к обеду потеплело на $12°$, а к ночи похолодало на $9°$. Какая температура ночью?

Решение. $-7 + 12 - 9 = -4$.

Ответ: $-4°$.

Ещё разборы

Пример 6 (расстояние на прямой).

Найдите расстояние между точками $A(-7)$ и $B(3)$ на координатной прямой.

Решение. Расстояние равно модулю разности координат: $|3 - (-7)| = 10$.

Ответ: 10.

Пример 7 (дроби со знаком).

Вычислите $-\dfrac{2}{3} + \dfrac{3}{4} \cdot \left(-\dfrac{8}{9}\right)$.

Решение. Умножение: $\frac{3}{4} \cdot \left(-\frac{8}{9}\right) = -\frac{24}{36} = -\frac{2}{3}$. Сумма: $-\frac{2}{3} - \frac{2}{3} = -\frac{4}{3} = -1\frac{1}{3}$.

Ответ: $-1\frac{1}{3}$.

Пример 8 (как в ОГЭ №7).

На прямой отмечены числа $a = -1{,}6$ и $b = 0{,}4$. Какое из утверждений верно: 1) $a + b \gt 0$; 2) $ab \lt 0$; 3) $a - b \gt 0$?

Решение. $a + b = -1{,}2 \lt 0$ — неверно. $ab = -0{,}64 \lt 0$ — верно (разные знаки). $a - b = -2 \lt 0$ — неверно.

Ответ: 2.

Коротко о главном

  • Больше то число, которое правее на прямой.
  • Модуль — расстояние до нуля, он неотрицателен; расстояние между точками — модуль разности.
  • Вычитание — прибавление противоположного числа.
  • Знак произведения определяется количеством минусов.

Задачи посложнее

Пример 9 (сумма с чередованием знаков).

Вычислите $1 - 2 + 3 - 4 + \ldots + 99 - 100$.

Решение. Разобьём на пары: $(1 - 2) + (3 - 4) + \ldots + (99 - 100)$. Пар 50, каждая равна $-1$. Сумма $-50$.

Ответ: −50.

Пример 10 (уравнение с модулем).

Решите уравнение $|x + 2| = 5$.

Решение. Расстояние от $x$ до $-2$ равно 5: $x = -2 + 5 = 3$ или $x = -2 - 5 = -7$.

Ответ: −7; 3.

Частый вопрос: «Почему минус на минус даёт плюс?» Посмотрите на ряд: $3 \cdot (-2) = -6$, $2 \cdot (-2) = -4$, $1 \cdot (-2) = -2$, $0 \cdot (-2) = 0$. Каждый раз результат растёт на 2. Продолжим закономерность: $(-1) \cdot (-2) = 2$, $(-2) \cdot (-2) = 4$. Правило знаков — единственный способ сохранить законы арифметики.

Типичные ошибки
  • $-2^2$ считать равным 4. Без скобок минус не возводится в степень.
  • В вычитании отрицательного «терять» второй минус: $5 - (-3) = 8$, а не 2.
  • Сравнивать отрицательные по модулю: $-10 \lt -1$, хотя $10 \gt 1$.
  • Писать «минус на минус» при сложении: $-3 + (-4) = -7$, а не 7. Правило «минус на минус даёт плюс» — только для умножения и деления.

Задачи для самопроверки

  1. Сравните $-3{,}5$ и $-3{,}05$.
    Ответ

    $-3{,}5 \lt -3{,}05$.

  2. Вычислите $-15 + 8 - 6 + (-2)$.
    Ответ

    −15.

  3. Вычислите $4 - (-9) - 13$.
    Ответ

    0.

  4. Вычислите $(-2)^3 \cdot (-5)$.
    Ответ

    $-8 \cdot (-5) = 40$.

  5. Вычислите $|-8| - |3 - 11|$.
    Ответ

    $8 - 8 = 0$.

  6. Найдите все целые $x$, для которых $|x| \lt 3$.
    Ответ

    $-2, -1, 0, 1, 2$.

  7. Вычислите $-1^{10} + (-1)^{11}$.
    Ответ

    $-1 + (-1) = -2$.

Задачи по теме

Навыки по теме

Модуль: раскрытие по определению≈ 5 мин Сравнение дробей≈ 3 мин
АВ
Методичку подготовил
Александр Владимирович
  • МГУ им. М.В. Ломоносова
  • Творческая лаборатория «Дважды Два»
  • 20+ лет стажа преподавания