К методичке В окне печати выберите «Сохранить как PDF». Ответы к задачам раскрыты.

кРепетито · методичка · 5–7 класс · ОГЭ

Уравнения: 5–7 класс

Как решать линейные уравнения: перенос слагаемых, раскрытие скобок, дроби, уравнения без корней и задачи на составление уравнения.

Уравнение — это равенство с неизвестным. Решить его — найти все значения неизвестного, при которых равенство верно, или доказать, что их нет. Линейные уравнения — первые и самые важные: к ним сводятся почти все текстовые задачи.

Уравнения в 5 классе: компоненты действий

В простых уравнениях неизвестное находят по правилам связи между компонентами.

НеизвестноКак найтиПример
слагаемоесумма минус известное слагаемое$x + 17 = 42 \Rightarrow x = 25$
уменьшаемоеразность плюс вычитаемое$x - 8 = 15 \Rightarrow x = 23$
вычитаемоеуменьшаемое минус разность$30 - x = 12 \Rightarrow x = 18$
множительпроизведение делим на известный множитель$7x = 63 \Rightarrow x = 9$
делимоечастное умножаем на делитель$x : 4 = 12 \Rightarrow x = 48$
делительделимое делим на частное$56 : x = 8 \Rightarrow x = 7$

Два правила для любого линейного уравнения

  1. Любое слагаемое можно перенести в другую часть уравнения, сменив его знак.
  2. Обе части можно умножить или разделить на одно и то же ненулевое число.
  1. Если есть дроби — умножьте обе части на общий знаменатель.
  2. Раскройте скобки.
  3. Слагаемые с $x$ перенесите влево, числа — вправо.
  4. Приведите подобные: получится $ax = b$.
  5. Если $a \ne 0$, то $x = \frac{b}{a}$. Сделайте проверку подстановкой.

Пример 1.

Решите уравнение $5x - 7 = 2x + 8$.

Решение. $5x - 2x = 8 + 7$, $3x = 15$, $x = 5$. Проверка: $25 - 7 = 18$ и $10 + 8 = 18$.

Ответ: 5.

Пример 2.

Решите уравнение $3(2x - 5) - 4(x + 1) = 7$.

Решение. Раскрываем скобки, внимательно со знаком перед второй: $6x - 15 - 4x - 4 = 7$. Получаем $2x - 19 = 7$, $2x = 26$, $x = 13$.

Ответ: 13.

Пример 3.

Решите уравнение $\dfrac{x - 1}{3} + \dfrac{x}{4} = 3$.

Решение. Умножаем на 12: $4(x - 1) + 3x = 36$, $7x - 4 = 36$, $7x = 40$, $x = \frac{40}{7} = 5\frac{5}{7}$.

Ответ: $5\frac{5}{7}$.

Сколько корней бывает

После упрощения получаем $ax = b$.

Уравнение $ax = b$

СлучайКорниПример
$a \ne 0$один корень $x = \frac{b}{a}$$4x = 10$, $x = 2{,}5$
$a = 0$, $b \ne 0$корней нет$0 \cdot x = 5$
$a = 0$, $b = 0$любое число$0 \cdot x = 0$

Пример 4.

Решите уравнение $2(3x + 1) = 6x - 5$.

Решение. $6x + 2 = 6x - 5$, $0 \cdot x = -7$. Такого $x$ нет.

Ответ: корней нет.

Задача на составление уравнения

Пример 5.

В двух коробках 64 карандаша. Если из первой переложить во вторую 8 карандашей, то в коробках станет поровну. Сколько карандашей было в каждой коробке?

Решение. Пусть во второй было $x$, тогда в первой $64 - x$. После перекладывания: $64 - x - 8 = x + 8$. Отсюда $56 - x = x + 8$, $2x = 48$, $x = 24$. В первой $64 - 24 = 40$.

Проверка: $40 - 8 = 32$, $24 + 8 = 32$.

Ответ: 40 и 24.

Ещё разборы

Пример 6 (десятичные коэффициенты).

Решите уравнение $0{,}3(x - 2) = 0{,}5x + 0{,}2$.

Решение. Умножим обе части на 10, чтобы избавиться от десятичных дробей: $3(x - 2) = 5x + 2$, $3x - 6 = 5x + 2$, $-2x = 8$, $x = -4$.

Проверка: $0{,}3 \cdot (-6) = -1{,}8$ и $0{,}5 \cdot (-4) + 0{,}2 = -1{,}8$.

Ответ: −4.

Пример 7 (уравнение с модулем, 7 класс).

Решите уравнение $|2x - 1| = 5$.

Решение. Модуль равен 5, если выражение равно 5 или −5: $2x - 1 = 5 \Rightarrow x = 3$; $2x - 1 = -5 \Rightarrow x = -2$.

Ответ: −2; 3.

Пример 8 (задача на движение).

Расстояние между сёлами пешеход проходит за 3 часа, а велосипедист, скорость которого на 8 км/ч больше, — за 1 час. Найдите расстояние.

Решение. Пусть скорость пешехода $x$ км/ч. Расстояние одно и то же: $3x = 1 \cdot (x + 8)$, $2x = 8$, $x = 4$. Расстояние $3 \cdot 4 = 12$ км.

Ответ: 12 км.

Коротко о главном

Типичные ошибки
  • Не менять знак при переносе слагаемого через знак равенства.
  • Раскрывать скобку после минуса, меняя знак только у первого слагаемого: $-(x - 3) = -x + 3$.
  • Умножать на общий знаменатель только дроби, забывая про числа без знаменателя.
  • Делить обе части на выражение с $x$ — так можно потерять корень.

Задачи для самопроверки

  1. Решите уравнение $9x + 4 = 5x - 12$.
    Ответ

    $x = -4$.

  2. Решите уравнение $7 - 2(x - 3) = 3x - 2$.
    Ответ

    $13 - 2x = 3x - 2$, $x = 3$.

  3. Решите уравнение $\frac{2x + 1}{5} = \frac{x - 2}{2}$.
    Ответ

    $4x + 2 = 5x - 10$, $x = 12$.

  4. Решите уравнение $4(x - 2) = 2(2x - 4)$.
    Ответ

    $0 \cdot x = 0$ — любое число.

  5. Сумма трёх последовательных натуральных чисел равна 87. Найдите эти числа.
    Ответ

    $x + (x+1) + (x+2) = 87$, $x = 28$: числа 28, 29, 30.

  6. Отец старше сына на 26 лет, а вместе им 52 года. Сколько лет сыну?
    Ответ

    $x + x + 26 = 52$, $x = 13$.

Задачи по теме на сайте