Линейная функция

Пример 1.

Прямая проходит через точки $A(1;\ 3)$ и $B(4;\ 9)$. Задайте её формулой.

Решение. $k = \frac{9 - 3}{4 - 1} = 2$. Подставляем точку $A$: $3 = 2 \cdot 1 + b$, $b = 1$. Итак, $y = 2x + 1$. Проверка точкой $B$: $2 \cdot 4 + 1 = 9$.

Ответ: $y = 2x + 1$.

Пример 2.

Найдите координаты точки пересечения прямых $y = 3x - 4$ и $y = -x + 8$.

Решение. В точке пересечения $y$ одинаковы: $3x - 4 = -x + 8$, $4x = 12$, $x = 3$, $y = 5$.

Ответ: $(3;\ 5)$.

Пример 3.

Найдите точки пересечения графика $y = -2x + 6$ с осями координат.

Решение. С осью $Oy$: $x = 0$, $y = 6$. С осью $Ox$: $y = 0$, $-2x + 6 = 0$, $x = 3$.

Ответ: $(0;\ 6)$ и $(3;\ 0)$.

Пример 4.

Прямая параллельна прямой $y = -4x + 1$ и проходит через точку $(2;\ -3)$. Найдите $b$.

Решение. Параллельные прямые имеют одинаковый $k = -4$. $-3 = -4 \cdot 2 + b$, $b = 5$.

Ответ: $b = 5$.

Пример 5 (знаки $k$ и $b$ по графику).

Прямая убывает и пересекает ось $Oy$ ниже начала координат. Каковы знаки $k$ и $b$?

Решение. Убывает — $k \lt 0$. Пересекает $Oy$ ниже нуля — $b \lt 0$.

Ответ: $k \lt 0$, $b \lt 0$.

Пример 6 (практическая задача).

Такси берёт 150 рублей за посадку и 30 рублей за каждый километр. Запишите стоимость поездки как функцию от расстояния и найдите, на сколько километров хватит 900 рублей.

Решение. $y = 30x + 150$. Решаем $30x + 150 = 900$: $30x = 750$, $x = 25$.

Ответ: $y = 30x + 150$; 25 км.

Пример 7 (кусочная функция, ОГЭ №22).

Постройте график $y = |x|$ и найдите, при каких $m$ прямая $y = m$ имеет с ним ровно две общие точки.

Решение. При $x \ge 0$ график совпадает с прямой $y = x$, при $x \lt 0$ — с $y = -x$: получается «галочка» с вершиной в начале координат. Горизонтальная прямая $y = m$ пересекает её в двух точках при $m \gt 0$, в одной при $m = 0$, ни в одной при $m \lt 0$.

Ответ: $m \gt 0$.